Введение в криптографию




Как строить большие простые числа - часть 3


Таким образом, в настоящее время никаких теоретических гарантий для существования простого числа , не существует. Тем не менее, опыт вычислений на ЭВМ показывает, что простые числа в арифметической прогрессии встречаются достаточно близко к ее началу. Упомянем в этой связи гипотезу о существовании бесконечного количества простых чисел с условием, что число также простое, т.е. простым является уже первый член прогрессии.

Очень важен в связи с описываемым методом построения простых чисел также вопрос о расстоянии между соседними простыми числами в арифметической прогрессии. Ведь убедившись, что при некотором  число составное, можно следующее значение  взять равным и действовать так далее, пока не будет найдено простое число . И если расстояние между соседними простыми числами в прогрессии велико, нет надежды быстро построить нужное число . Перебор чисел  до того момента, как мы наткнемся на простое число  окажется слишком долгим. В более простом вопросе о расстоянии между соседними простыми числами и в натуральном ряде доказано лишь, что , что, конечно, не очень хорошо для наших целей. Вместе с тем существует так называемая гипотеза Крамера (1936 г.), что

, дающая вполне приемлемую оценку. Примерно такой же результат следует и из расширенной гипотезы Римана. Вычисления на ЭВМ показывают, что простые числа в арифметических прогрессиях расположены достаточно плотно.

В качестве итога обсуждения в этом разделе подчеркнем следующее: если принять на веру, что наименьшее простое число, а также расстояние между соседними простыми числами в прогрессии при

оцениваются величиной , то описанная схема построения больших простых чисел имеет полиномиальную оценку сложности. Кроме того, несмотря на отсутствие теоретических оценок времени работы алгоритмов, отыскивающих простые числа в арифметических прогрессиях со сравнительно большой разностью, на практике эти алгоритмы работают вполне удовлетворительно. На обычном персональном компьютере без особых затрат времени строятся таким способом простые числа порядка .




Содержание  Назад  Вперед